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我们学习函数这一章节，一定会学习函数的奇偶性。

关于函数奇偶性有以下问题要弄清楚：

1. 奇偶函数的定义是什么？

2. 函数一定有奇偶性吗？

3. 奇函数的图象及性质如何？

4. 偶函数的图象及性质如何？

5. 如何判断一个函数是否奇偶函数？

首先，我们来看看奇偶函数的定义：

奇函数定义： 奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f（-x）= – f（x），那么函数 f（x）就叫做奇函数（odd function）。

对定义理解：

①定义域关于原点对称。

②f（-x）= – f（x）

等价表达 f（-x）+ f（x）=0

这两条是奇函数必备条件，缺一不可。

偶函数定义： 对于一个定义域关于原点对称的函数 f（x）的定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(-x), 那么函数 f(x) 就叫做偶函数 (Even Function)。

对定义的理解：

①定义域关于原点对称。

②f（-x）= f（x）=f（|x|）

等价表达：f（-x）– f（x）=0

定义可以做为判断函数是否为奇偶函数的方法。

其流程如下：

2. 一个函数一定是奇函数或是偶函数吗？

答案是不一定。

函数于奇偶，一定是以下四种情形：

①是奇函数，非偶函数。

②是偶函数，非奇函数。

③既是奇函数，又是偶函数。

④既不是奇函数，也不是偶函数。

解答：

⑴，定义域为 R，关于原点对称，f（-x）=f（x）为偶函数

3. 奇偶函数图像有什么特点？

奇函数图象关于原点对称。

偶函数图象关于 y 轴对称。

正因为此特点，也可以根据图象判断一个函数是奇函数，还是偶函数。

4. 如何判断一个函数是否奇偶函数？

①依定义判定

②依图象判定

③依定理判定：

⑴奇×奇为偶函数

⑵奇×偶为奇函数

⑶偶×偶为偶函数

⑷奇函数与奇函数复合为奇函数

⑸偶函数与偶函数复合为偶函数

⑹偶函数与奇函数复合为奇函数

5. 任一定义域关于原点对称的函数都是奇函数与偶函数的和。

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